Cho hàm số : \(y=f\left(x\right)=x^4+2\left(m-2\right)x^2+m^2-5m+5\)
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân
Cho hàm số \(y=x^4+2\left(m-2\right)x^2+m^2-5m+5\), có đồ thị \(\left(C_m\right)\). Tìm m để đồ thị \(\left(C_m\right)\) có cực đại và cực tiểu tạo thành 3 đỉnh của tam giác đều.
Theo yêu cầu bài toán ta có \(\begin{cases}ab< 0\\AB=BC=CA\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m< 2\\8\left(m-2\right)^3+24=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=2-\sqrt[3]{3}\)
tìm m để đồ thị hàm số \(y=x^4+2\left(m-2\right)x^2+m^2-5m+5\) có 3 điểm cực trị là các đỉnh của một tam giác đều
\(y'=4x^3+4\left(m-2\right)x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2=2-m\end{matrix}\right.\)
Hàm có 3 cực trị khi và chỉ khi \(2-m>0\Leftrightarrow m< 2\)
Khi đó gọi 3 cực trị là A, B, C ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}A\left(0;m^2-5m+5\right)\\B\left(\sqrt{2-m};1-m\right)\\C\left(-\sqrt{2-m};1-m\right)\end{matrix}\right.\)
Tam giác ABC luôn cân tại A
Gọi H là trung điểm BC \(\Rightarrow H\left(0;1-m\right)\)
\(AH=\left|y_A-y_H\right|=\left|m^2-4m+4\right|=\left(m-2\right)^2\)
\(BC=2\sqrt{2-m}\)
Do ABC đều \(\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BC\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{2-m}\)
\(\Leftrightarrow\left(2-m\right)^3=\dfrac{3}{4}\Rightarrow m=2-\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}}\)
cho hàm số \(y=\dfrac{mx^2+\left(m+2\right)x+5}{x^2+1}\). gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích = \(\dfrac{25}{4}\). tính tổng các phần tử của S
Câu 3 Để đồ thị hàm số \(y=-x^4-\left(m-3\right)x^2+m+1\) có điểm cực đạt mà không có điểm cực tiểu thì tất cả giá trị thực của tham số m là
Câu 4 Cho hàm số \(y=x^4-2mx^2+m\) .Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị
tìm m để đồ thị hàm số \(\left(C_m\right):y=x^3-3mx^2+3\left(m^2-1\right)x-m^3+m\) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số O bằng √2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến O ( O là gốc tọa độ )
Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$
$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$
$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$
Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$
Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$
$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu
$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại
$BO=\sqrt{2}AO$
$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$
$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$
$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$
tìm m để đồ thị hàm số \(\left(C_m\right):y=x^3-3mx^2+3\left(m^2-1\right)x-m^3+m\) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số O bằng \(\sqrt{2}\) lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến O ( O là gốc tọa độ )
Cho hàm số \(y=2x^3+3\left(m-1\right)x^2+6\left(m-2\right)x-1\) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu nằm trong khoảng (-2;3)
Tìm m để đồ thị hàm số y = x^ 4 - 2m x^ 2 + 2 m + m^ 4 có cực đại và cực tiểu Đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều
\(y'=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)\)
Hàm có cực đại, cực tiểu khi \(m>0\), khi đó ta có tọa độ các cực trị:
\(A\left(0;m^4+2m\right)\) ; \(B\left(-\sqrt{m};m^4-m^2+2m\right)\) ; \(C\left(\sqrt{m};m^4-m^2+2m\right)\)
3 cực trị luôn tạo thành 1 tam giác cân tại A
Gọi H là trung điểm BC \(\Rightarrow H\left(0;m^4-m^2+2m\right)\)
\(\Rightarrow AH=m^2\) ; \(BC=2\sqrt{m}\)
Tam giác ABC đều khi:
\(AH=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow m^2=\sqrt{3m}\)
\(\Rightarrow m^4=3m\Rightarrow m=\sqrt[3]{3}\)
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ (dưới bình luận). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y= \(\left|f^2\left(x\right)-4f\left(x\right)+m\right|\) có 7 điểm cực trị (giải theo phương pháp ghép trục)